幂平均不等式

定义

一组正数 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 的 \(x\) 次幂平均定义为

\[M_x(a_1,a_2,\cdots,a_n) = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}{n}{a_i^x}\right)^{\frac{1}{x}}.\]

其中当 \(x=0\) 时, 补充定义

\[M_0(a_1,a_2,\cdots,a_n) = \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}.\]

可以证明这个补定义使其在实数域上连续. 使用 Jensen 不等式, 或者求导后再利用 Jensen 不等式, 结合 Chebyshev 不等式可知其单调递增.

可视化

下面是幂平均不等式的图像示例, 这里仅考虑二元情况. ( 这是 2025 年 11 月 02 日的快照, 可以在 这里 查看, 或者查看 当前版本 . )